原神で星５キャラを２枚抜きする真の確率

はじめに

結論から言えば、

• 原神のガチャで１０連引いたとき、星５キャラを２枚抜きする確率：0.4130%
• 原神のガチャで１０連引いたとき、星５キャラを３枚抜きする確率：0.0066%

なのだが、細かい計算結果や導出過程を下記に記す

前提条件

• 対象はキャラPU祈願
• 星４の確定枠は無視する
• 星５の出現確率は下記とする（７４連目から確率が６％ずつ上昇し続ける）

n	n連目の星５出現率	0連目から開始してn連目に星５が出現する確率	期待値
1	0.006	0.006	0.006
2	0.006	0.005964	0.011928
3	0.006	0.005928216	0.017784648
4	0.006	0.005892647	0.023570587
5	0.006	0.005857291	0.029286454
6	0.006	0.005822147	0.034932882
7	0.006	0.005787214	0.040510499
8	0.006	0.005752491	0.046019927
9	0.006	0.005717976	0.051461784
10	0.006	0.005683668	0.056836681
11	0.006	0.005649566	0.062145227
12	0.006	0.005615669	0.067388024
13	0.006	0.005581975	0.072565671
14	0.006	0.005548483	0.07767876
15	0.006	0.005515192	0.082727879
16	0.006	0.005482101	0.087713613
17	0.006	0.005449208	0.092636539
18	0.006	0.005416513	0.097497233
19	0.006	0.005384014	0.102296263
20	0.006	0.00535171	0.107034196
21	0.006	0.0053196	0.11171159
22	0.006	0.005287682	0.116329002
23	0.006	0.005255956	0.120886984
24	0.006	0.00522442	0.125386082
25	0.006	0.005193074	0.129826839
26	0.006	0.005161915	0.134209794
27	0.006	0.005130944	0.138535478
28	0.006	0.005100158	0.142804424
29	0.006	0.005069557	0.147017154
30	0.006	0.00503914	0.151174191
31	0.006	0.005008905	0.155276051
32	0.006	0.004978851	0.159323246
33	0.006	0.004948978	0.163316284
34	0.006	0.004919284	0.167255671
35	0.006	0.004889769	0.171141906
36	0.006	0.00486043	0.174975485
37	0.006	0.004831268	0.178756899
38	0.006	0.00480228	0.182486638
39	0.006	0.004773466	0.186165184
40	0.006	0.004744825	0.189793019
41	0.006	0.004716357	0.193370617
42	0.006	0.004688058	0.196898452
43	0.006	0.00465993	0.200376991
44	0.006	0.00463197	0.203806699
45	0.006	0.004604179	0.207188038
46	0.006	0.004576554	0.210521463
47	0.006	0.004549094	0.213807429
48	0.006	0.0045218	0.217046384
49	0.006	0.004494669	0.220238774
50	0.006	0.004467701	0.223385043
51	0.006	0.004440895	0.226485627
52	0.006	0.004414249	0.229540962
53	0.006	0.004387764	0.23255148
54	0.006	0.004361437	0.235517609
55	0.006	0.004335269	0.238439772
56	0.006	0.004309257	0.24131839
57	0.006	0.004283401	0.244153881
58	0.006	0.004257701	0.246946659
59	0.006	0.004232155	0.249697134
60	0.006	0.004206762	0.252405713
61	0.006	0.004181521	0.2550728
62	0.006	0.004156432	0.257698795
63	0.006	0.004131494	0.260284096
64	0.006	0.004106705	0.262829096
65	0.006	0.004082064	0.265334186
66	0.006	0.004057572	0.267799753
67	0.006	0.004033227	0.270226181
68	0.006	0.004009027	0.272613851
69	0.006	0.003984973	0.274963141
70	0.006	0.003961063	0.277274425
71	0.006	0.003937297	0.279548076
72	0.006	0.003913673	0.28178446
73	0.006	0.003890191	0.283983944
74	0.066	0.042535349	3.147615797
75	0.126	0.075844393	5.688329507
76	0.186	0.097853714	7.436882269
77	0.246	0.105347415	8.111750926
78	0.306	0.098805597	7.706836575
79	0.366	0.082016395	6.47929521
80	0.426	0.060522721	4.841817715
81	0.486	0.039633006	3.210273468
82	0.546	0.022886348	1.876680561
83	0.606	0.011532205	0.957172979
84	0.666	0.004993559	0.419458935
85	0.726	0.001818105	0.154538947
86	0.786	0.000539331	0.04638248
87	0.846	0.000124227	0.010807776
88	0.906	2.04878×10-5	0.001802928
89	0.966	2.05339×10-6	0.000182752
90	1	7.22727×10-8	6.50454×10-6
合計	–	1	62.2973

• 星５出現までに必要なガチャ回数期待値：62.2973
• 星５総合出現確率：1.6052%（=1/62.2973）　（参考 総合出現確率：1.600%）

原神で星５キャラを２枚抜きする確率（n枚抜きする確率）

結論から言えば、

• 原神のガチャで１０連引いたとき、星５キャラを２枚抜きする確率：0.4130%
• 原神のガチャで１０連引いたとき、星５キャラを３枚抜きする確率：0.0066%

であり、n枚抜きの確率は下記となる

n（枚）	ｎ枚引きする確率（％）
0	84.37449142
1	15.20575581
2	0.413033608
3	0.006648428
4	7.02299×10-5
5	5.08707×10-7
6	2.55889×10-9
7	8.8263×10-12
8	1.9979×10-14
9	2.67995×10-17
10	1.61768×10-20
合計	100

補足　表２の結果から逆算した星５の総合出現確率

n枚抜きする確率から星５の総合出現確率を算出することが可能であり、期待値は下記となる

n（枚） [A]	ｎ枚引きする確率（％） [B]	期待値（枚） [C]=[A]×[B]
0	84.37449142	0
1	15.20575581	0.152057558
2	0.413033608	0.008260672
3	0.006648428	0.000199453
4	7.02299×10-5	2.8092×10-6
5	5.08707×10-7	2.54354×10-8
6	2.55889×10-9	1.53533×10-10
7	8.8263×10-12	6.17841×10-13
8	1.9979×10-14	1.59832×10-15
9	2.67995×10-17	2.41196×10-18
10	1.61768×10-20	1.61768×10-21
合計	100	0.160520518

１０連における星５出現枚数の期待値が0.16052枚であることから、

• 星５出現に必要なガチャ回数の期待値：62.2973連（=10連/0.16052）
• 星５総合出現確率：1.6052%

上の結果は前提条件で求めた確率に一致するため、このn枚抜きの確率が正しいことが確認できる

参考

参考１　0.04%説の問題点

• 0.6%×0.6%で算出しているものと推測
• これは１０連引いたときの２枚抜きの確率ではなく、０～７２連目において連続で２枚引いたときにどちらも星５である確率

参考２　0.154%説の問題点

• 0.6%ⁿ × (1-0.6%)^10-n × ₁₀C_n で計算したもの
• 原神の星５出現確率が一律で0.6%であればこの計算結果は正しい
• 実際には７４連目から星５の出現確率が上昇することから、0.154%は０～６４連目において連続で１０連引いたときに星５を２枚抜きする確率
• ６５連目以降の１０連は確率が上昇するため、この結果は適用できない
• この計算式を使うと０枚抜きが94%となるが、天井が90連であることを考えると94%はあり得ず、実態と大きくかけ離れている

参考３　星５キャラを２枚抜きする確率の求め方

• 最も厄介な点は、原神のガチャが表１の通り、可変であること
• つまり、『０連目から引く１０連で星５が出る確率』と『７０連目から引く１０連で星５が出る確率』は大きく異なる
• この問題を解消するために、星５キャラを２枚抜きする確率は、[最後の星５出現からｎ連目である確率]×[ｎ連目から１０連引いたとき、星５が２枚出る確率]で算出した

n連目	最後の星５出現から n連目である確率 [D]	n連目から10連引いたとき、 星５が２枚出る確率 [E]	[F]=[D]×[E]
0	0.016052052	0.001543854	2.4782×10-5
1	0.015955739	0.001543854	2.46333×10-5
2	0.015860005	0.001543854	2.44855×10-5
3	0.015764845	0.001543854	2.43386×10-5
4	0.015670256	0.001543854	2.41926×10-5
5	0.015576234	0.001543854	2.40474×10-5
6	0.015482777	0.001543854	2.39031×10-5
7	0.01538988	0.001543854	2.37597×10-5
8	0.015297541	0.001543854	2.36172×10-5
9	0.015205756	0.001543854	2.34755×10-5
10	0.015114521	0.001543854	2.33346×10-5
11	0.015023834	0.001543854	2.31946×10-5
12	0.014933691	0.001543854	2.30554×10-5
13	0.014844089	0.001543854	2.29171×10-5
14	0.014755024	0.001543854	2.27796×10-5
15	0.014666494	0.001543854	2.26429×10-5
16	0.014578495	0.001543854	2.25071×10-5
17	0.014491024	0.001543854	2.2372×10-5
18	0.014404078	0.001543854	2.22378×10-5
19	0.014317654	0.001543854	2.21044×10-5
20	0.014231748	0.001543854	2.19717×10-5
21	0.014146357	0.001543854	2.18399×10-5
22	0.014061479	0.001543854	2.17089×10-5
23	0.01397711	0.001543854	2.15786×10-5
24	0.013893248	0.001543854	2.14491×10-5
25	0.013809888	0.001543854	2.13204×10-5
26	0.013727029	0.001543854	2.11925×10-5
27	0.013644667	0.001543854	2.10654×10-5
28	0.013562799	0.001543854	2.0939×10-5
29	0.013481422	0.001543854	2.08133×10-5
30	0.013400533	0.001543854	2.06885×10-5
31	0.01332013	0.001543854	2.05643×10-5
32	0.013240209	0.001543854	2.04409×10-5
33	0.013160768	0.001543854	2.03183×10-5
34	0.013081804	0.001543854	2.01964×10-5
35	0.013003313	0.001543854	2.00752×10-5
36	0.012925293	0.001543854	1.99548×10-5
37	0.012847741	0.001543854	1.9835×10-5
38	0.012770655	0.001543854	1.9716×10-5
39	0.012694031	0.001543854	1.95977×10-5
40	0.012617866	0.001543854	1.94801×10-5
41	0.012542159	0.001543854	1.93633×10-5
42	0.012466906	0.001543854	1.92471×10-5
43	0.012392105	0.001543854	1.91316×10-5
44	0.012317752	0.001543854	1.90168×10-5
45	0.012243846	0.001543854	1.89027×10-5
46	0.012170383	0.001543854	1.87893×10-5
47	0.01209736	0.001543854	1.86766×10-5
48	0.012024776	0.001543854	1.85645×10-5
49	0.011952628	0.001543854	1.84531×10-5
50	0.011880912	0.001543854	1.83424×10-5
51	0.011809626	0.001543854	1.82323×10-5
52	0.011738769	0.001543854	1.81229×10-5
53	0.011668336	0.001543854	1.80142×10-5
54	0.011598326	0.001543854	1.79061×10-5
55	0.011528736	0.001543854	1.77987×10-5
56	0.011459564	0.001543854	1.76919×10-5
57	0.011390806	0.001543854	1.75857×10-5
58	0.011322461	0.001543854	1.74802×10-5
59	0.011254527	0.001543854	1.73753×10-5
60	0.011186999	0.001543854	1.72711×10-5
61	0.011119877	0.001543854	1.71675×10-5
62	0.011053158	0.001543854	1.70645×10-5
63	0.010986839	0.001543854	1.69621×10-5
64	0.010920918	0.001543854	1.68603×10-5
65	0.010855393	0.001886932	2.04834×10-5
66	0.01079026	0.002872679	3.0997×10-5
67	0.010725519	0.004702818	5.04402×10-5
68	0.010661166	0.007450352	7.94294×10-5
69	0.010597199	0.011061569	0.000117222
70	0.010533615	0.015388381	0.000162095
71	0.010470414	0.020237605	0.000211896
72	0.010407591	0.025419287	0.000264554
73	0.010345146	0.03077973	0.000318421
74	0.009662366	0.034889072	0.000337111
75	0.008444908	0.038078186	0.000321567
76	0.006874155	0.040586614	0.000278999
77	0.005183113	0.042587378	0.000220735
78	0.00359708	0.044205531	0.000159011
79	0.002280549	0.045531804	0.000103838
80	0.001309035	0.046632502	6.10436×10-5
81	0.000672844	0.04755656	3.19981×10-5
82	0.000305471	0.04834053	1.47666×10-5
83	0.000120356	0.049012063	5.89888×10-6
84	4.01988×10-5	0.049592341	1.99355×10-6
85	1.10145××10-5	0.050097784	5.518×10-7
86	2.3571×10-6	0.050541238	1.19131×10-7
87	3.62993×10-7	0.050932641	1.84882×10-8
88	3.41213×10-8	0.051276761	1.74963×10-9
89	1.16012×10-9	0.051461784	5.97021×10-11
合計	1	–	0.004130336

終わりに

• 0.04%や0.154%があまりに実態とかけ離れていると感じたため、算出した
• いろいろ計算したが、低確率であることには変わりないから気にするほどのことでもない